Anwendungen des Integrals 8. Anwendungen 8. 1 Mittelwerte von Funktionen Der (arithmetische) Mittelwert von n gegebenen Zahlen x 1, x 2,..., x n ist bekanntlich Diese Begriffsbildung lsst sich auf die Funktionswert f ( x) einer auf einem Intervall [a; b] stetigen Funktion f bertragen: Das Intervall [a; b] wird in n Teilintervalle der Lnge geteilt. In jedem Teilintervall wird eine Stelle x i und der zugehrige Funktionswert f ( x i) gewhlt. Mittelwerte von Funktionen by Dennis Vettkötter. Damit wird der (arithmetische) Mittelwert gebildet:. Fr gilt und. Definition: Fr eine auf einem Intervall [a; b] stetige Funktion f heit der Mittelwert der Funktionswerte von f auf [ a; b]. Dieser Mittelwert der Funktionswerte ist selbst auch ein Funktionswert von f, wie der folgende Satz verdeutlicht: Mittelwertsatz der Integralrechnung: Ist f eine auf dem Intervall [a; b] stetige Funktion, dann gibt es ein, so dass gilt: Zu beachten ist, dass c im allgemeinen nicht ( a + b)/2 ist. Wenn f im Intervall [ a; b] nur positive Werte f ( x) > 0 annimmt, dann lsst sich die Aussage des Mittelwertsatzes der Integralrechnung geometrisch deuten: Die Flche unter dem Graphen von f im Intervall [ a; b] hat denselben Inhalt wie das Rechteck mit den Seiten b - a und f ( c).
16. 06. 2005, 10:42 elfi77 Auf diesen Beitrag antworten » Mittelwerte von Funktionen Die Formel: 1/(b-a) \int_{b}^{a}~f(x)~dx [/latex] ist die Formel für den Mittelwert m der Funktionswerte von f auf (a;b) Kann mir vielleicht jemand erklären, wie man auf die Formel gekommen ist? Danke 16. 2005, 10:48 brunsi RE: Mittelwerte von Funktionen so damit mand as lesen kann!! edit: oder war das anders gemeint?? 16. 2005, 10:54 Nein, nicht so, ich glaube eben hab ich noch was anderes gesehen! Ich krieg das Latex nicht hin:-( 16. 2005, 10:59 JochenX code: 1: [latex]....... Mittelwerte von funktionen. [/latex] und dazwischen den formeleditor verwenden 16. 2005, 11:09 dann warten wir eben, bis du es hinbekommen hast!! sonst ist es blödsinnig mit vermutungen zuarbeiten!! 16. 2005, 11:48 AD @elfi77 Betrachte mal für festes n die n gleichabständigen Punkte, k=0.. n-1. Dann ist und die anderen (n-2) Punkte liegen schön gleichmäßig im Abstand dazwischen. Der Mittelwert der zugehörigen n Funktionswerte ist. Das kann man auch schreiben als.
Das arithmetische Mittelwerte Es gibt verschiedene Arten von Mittelwerten, das geometrische Mitel, das harmonische Mittel usw. Normalerweise versteht man unter Mittelwert das so genannte arithmetische Mittel, bei dem man n Zahlenwerte aufsummiert und die Summe anschließend durch n teilt. Das aber setzt voraus, dass n endlich ist und es stellt sich sofort die Frage, ob mann auch von unendlich vielen Werten einen Mittelwert bilden kann? Dies führt zu der historischen Fragestellung, wie man zur Fläche unter einem gegebenen Kurvenstückchen ein Flächengleiches Rechteck finden kann. Diese Frage führt zur... Integralformel für Mittelwerte Der Mittelwert m einer Funktion f(x) im Intervall [a;b] ist gegeben durch: Erläuterung Das Integral bestimmt die Fläche unter der Kurve von f(x) im Intervall [a;b]. Abikurs Mathe. Fasst man dies als Fläche eines Rechtecks auf, so braucht man nur noch durch die Länge (b-a) zu teilen und erhält die Höhe h des Rechtecks. Dies kann man dann als Mittelwert aller Funktionswerte f(x) im Intervall [a;b] auffassen.
Mittelwert und Integralrechnung? Passt für dich auf den ersten Blick nicht zusammen? Ja, das könnte man meinen, aber mit Hilfe des Integrals kannst du ganz einfach den mittleren Wert ausrechnen, den einen Funktion in einem bestimmten Intervall hat. Du kannst ihn auch graphisch durch eine zur x-Achse parallele Gerade darstellen. Sowohl die Berechnung, als auch wie du ihn zeichnerisch darstellst, zeigen wir dir in diesem Erklärvideo. AUFGABEN AUS DEM MATHEBUCH LEICHT: S. 99/1a, b MITTEL: S. 99/1c, d S. 99/2 S. 99/3a, c S. Anwendungen des Integrals. 100/8c, d, e, f S. 100/11 SCHWER: S. 100/8a, b S. 100/9 S. 100/10
Aufgelöst nach H ergibt sich ….. Eine Idee dahinter wäre Folgendes: Man betrachtet eine stetige (oder allgemeiner: eine sog. "messbare") Funktion ƒ: X —> R, wobei (X; µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist und fragt sich, (1. ) welchen Informationsinhalt diese Funktion hat, und (2. ) wie diese vereinfacht werden kann. Dazu betrachtet man sogenannte sigma-Algebren auf dem Bildbereich X. Für stetige Funktionen besteht die Sigma Algebra aus: alle offenen Mengen Komplemente, abzählbare Schnitte und abzählbare Vereinigungen aus solchen Mengen Komplemente, abzählbare Schnitte und abzählbare Vereinigungen aus diesen Mengen usw. Diese sigma-Algebra heißt Bor(X), die Borel-Mengen. Um Information über die Funktion zu wissen, reicht es aus folgende Messungen zu nehmen ∫über x € A aus ƒ(x) µ(dx) für jedes A in Bor(X). Mittelwerte von funktionen tour. Anhand dieser Zahlen kann man ƒ immer erneut aufbauen. Nochmals: die betrachtende Funktion am Anfang war "messbare", was heißt dass ƒ^{-1}(U) in Bor(X) liegt für alle U in Bor( R). Man erfasst die Funktion durch: (∫über x € A aus ƒ(x) µ(dx): A in Bor(X)) und aus diesen Zahlen kann man die Bor(X)-messbare Funktion ƒ eindeutig rekonstruieren.
Eine Fassung der Funktion besteht nun darin, dass man eine kleiner Unteralgebra F von Bor(X) betrachtet, und nach einer Funktion g sucht, so dass g F-messbar ist, was heißt, g^{-1}(U) liegt in F für alle U in Bor( R); ∫über x € A aus g(x) µ(dx) = ∫über x € A aus ƒ(x) µ(dx) für alle A in F. Dies existiert immer und ist eindeutig, weswegen man diese Funktion E(ƒ|F) bezeichnet und sie als eine Darstellung oder Fassung der Funktion verstehen kann. Und für die besondere einfachste Unteralgebra F = {Ø; X} gilt E(ƒ|F) = "Mittelwert". Deswegen kann man den Mittelwert als einfachste Fassung der Funktion verstehen kann. Natürlich ist es geometrisch am einfachsten erklärt: Das best. Integral ist eine Fläche F. Diese Fläche F ist gleich einer Rechtecksfläche R= (b-a)h, wobei h die Höhe des Rechtecks ist, d. Mittelwerte von funktionen syndrome. i. also gleich dem m in deiner Formel!
Es ist dann also: Ist f(x) eine Gerade, so ist m gerade der Mittelwert von f(a) und f(b). Daher nennt man m auch den Mittelwert der Funktion auf dem Intervall [a; b]. 15. 2008, 14:19 mYthos Du verwechselst dies mit der Bestimmung der Fläche an sich. Dabei wird diese in unendlich viele Teil"streifen" unterteilt und danach der Grenzübergang gemacht. mY+ 15. 2008, 14:27 Danke, jetzt habe ich es verstanden.
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