Streckung einer Parabel Wenn der Faktor vor dem $x^2$ größer als $1$ oder kleiner als $-1$ ist, wird die Funktion gestreckt. Dies kann man sich relativ einfach erklären: Die Normalparabel hat den Streckfaktor $1$ ($f(x) = x^2$); daraus ergeben sich folgende Punkte, die auf der Normalparabel liegen: $1^2 = 1$ $\rightarrow $ P(1/1) $2^2 = 4$ $\rightarrow $ Q(2/4) $3^2 = 9$ $\rightarrow $ R(3/9) Jede Quadratzahl wird nun mit $a$ multipliziert. Nehmen wir an, der Faktor vor dem $x^2$ beträgt $3$. Dann wird jede Quadratzahl mit $3$ multipliziert. Aufgaben zur Ermittlung der Gleichung von Parabeln - lernen mit Serlo!. In diese Funktion $f(x) = 3·x^2$ setzen wir nun die ersten x-Werte ein: $3 · 1^2 = 3 · 1 = 3$ $\rightarrow $ P(1/3) $3 · 2^2 = 3 · 4 = 12$ $\rightarrow $ P(2/12) $3 · 3^2 = 3 · 9 = 27$ $\rightarrow $ P(3/27) Dabei musst du darauf achten, dass immer zuerst die Quadratzahl ausgerechnet wird. Danach wird die Quadratzahl mit $a$ multipliziert, nicht umgekehrt! Abbildung: zwei quadratische Funktionen Die linke Funktion ist um den Faktor $3$ gestreckt, die rechte Funktion ist die Normalparabel.
In diesem Artikel befassen wir uns damit, wie man den Scheitelpunkt einer Parabel berechnen oder im einfachsten Falle ablesen kann. Entsprechende Formeln und Informationen werden anhand von Beispielen erläutert. Natürlich erfahrt ihr auch, was man unter dem Scheitelpunkt versteht. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik. Zunächst sollten wir uns einmal ansehen, was man unter dem Scheitelpunkt eigentlich versteht. Dazu nehmen wir uns eine Parabel, die einmal nach oben und nach unten geöffnet ist. Der höchste Punkte und der tiefste Punkt sind dabei markiert. Dies sind die Scheitelpunkte. Hier liegt der Scheitelpunkt unten und ist mit S markiert: Hier liegt der Scheitelpunkt oben und ist ebenfalls mit S markiert: Jedem sollte nun klar sein, was der Scheitelpunkt ist. Aufgaben: Parabel aus drei Punkten bestimmen. Wir können uns also nun damit befassen, wie man den Scheitelpunkt findet. Wer mit den folgenden Inhalten Probleme hat, der sollte einmal die folgende Liste an Themen durchsehen. Wer diese noch nicht beherrscht kann gerne nachlesen: quadratische Funktionen, PQ-Formel und Mitternachtsformel.
Im letzten Beitrag ging es um den Schnittpunkt von Parabel und Gerad e. Diesmal erkläre ich anhand eines Beispiels, wie man den Schnittpunkt zweier Parabeln berechnet. Anschließend stelle ich Übungsaufgaben hierzu und einen interaktiven Rechner zur Verfügung. Zuletzt erläutere ich dies. Beispiel: Diesmal wollen wir die Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen und wir haben dafür deren Funktionsgleichungen. f(x)= x^2 - 4x +1 \, bzw. \, f(x) = (x - 2)^2 - 3 \Rightarrow S(2|-3) g(x) = -x^2 + 2x + 1 \, bzw. \, g(x) = -(x-1)^2 + 2 \Rightarrow S(1|2) Wenn der Schnittpunkt der Graphen zweier Funktionen bestimmt werden soll, dann setzt man die Funktionsgleichungen gleich. Das galt schon für die Schnittpunkte von Geraden und ebenfalls von Gerade und Parabel. Gleichungen von Parabeln erkennen und Quadratische Funktion verstehen - Mathematik online lernen mit realmath.de. Deshalb wendet man dieses Verfahren auch bei zwei Parabeln an. f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 1 + x^2 -2x -1 = 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 6x = 0 \, \big \vert:2 \Leftrightarrow x^2 - 3x = 0 x(x-3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0 x(x-3) = 0 \Rightarrow x_2 = 3 f(x_1) = f(0) = 1 f(x_2) = f(3) = -2 \Rightarrow \underline{\underline{P_1(0|1); P_2(3|-2)}} Übungsaufgaben: Jetzt können Sie üben: Bestimmen Sie die Schnittpunkte folgender Parabeln und zeichnen Sie die Graphen!
Online-Lehrgang für Schüler Aufgabentypen Lösen von Aufgaben "Funktionsgleichung bestimmen aus zwei Punkten" Beispiel-Aufgabe Download Übungseinheit 04 Weitere Übungseinheiten zu: Quadratische Funktionen Begriffe Häufig ist bei Aufgaben, die eine quadratische Funktion beinhalten, die Funktionsgleichung gesucht. Um diese Aufgabenstellung eindeutig lösen zu können, müssen zwei Punkte, die die Gleichung erfüllen (also auf der zugehörigen Parabel liegen), bekannt sein. Zusätzlich muss eine weitere Information gegeben sein. Eine solche Information kann beispielsweise die Öffnung der Parabel ("eine nach oben geöffnete Normalparabel") sein. Lösen von Aufgaben "Parabelgleichung bestimmen aus zwei Punkten" Es ist hilfreich, alle in der Aufgabenstellung gegebenen Größen zunächst untereinander aufzuschreiben. Beispiel-Aufgabe: Parabelgleichung bestimmen aus zwei Punkten Auszug aus der Aufgabenstellung zur Übungseinheit 04: Auszug aus der Lösung: Download der Übungseinheit Die Übungseinheit und die zugehörigen Lösungen stehen zum Download bereit.
Verschiebung um d nach rechts: f(x) = (x – d) 2 Verschiebung um d nach links: f(x) = (x + d) 2 Streckung/Stauchung im Video zur Stelle im Video springen (01:49) Willst du eine quadratische Funktion strecken ( schmaler) oder stauchen ( breiter), rechnest du die Funktion mal den Wert a. Aus f(x) = x 2 wird dann f(x) = a · x 2 Ist a größer als 1, wird der Graph schmaler. Er ist gestreckt. Ist a größer als 0 und kleiner als 1, wird der Graph breiter. Er ist gestaucht. Streckung und Stauchung der Normalparabel Die Funktion g(x) = 3 · x 2 hat den Faktor 3. Die Parabel ist gestreckt, also schmaler als die Normalparabel. Die Funktion h(x) = 0, 25 · x 2 hat den Faktor 0, 25. Die Parabel ist gestaucht, also breiter als die Normalparabel. Streckung/Stauchung der Normalparabel Streckung (schmaler): f(x) = a · f(x) (a größer als 1; 1 < a) Stauchung (breiter): f(x) = a · f(x) (a größer als 0 und kleiner als 1; 0 < a < 1) Die Normalfunktion hat eigentlich den Faktor a = 1 (f(x) = 1 · x 2). Du kannst ihn aber weglassen, weil sie weder gestreckt noch gestaucht wird.
Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung Hier wurde die Funktion um 1 Einheit nach oben verschoben. Hinter die Funktion f(x) = x 2 schreibst du also + 1. g(x) = x 2 + 1 Verschiebst du die Normalparabel um 2 Einheiten nach unten, hängst du – 2 an die Funktion f(x) = x 2 an. h(x) = x 2 – 2 Verschiebung um e nach oben: f(x) = x 2 + e Verschiebung um e nach unten: f(x) = x 2 – e Verschiebung in x-Richtung im Video zur Stelle im Video springen (01:26) Du kannst eine quadratische Funktion entlang der x-Achse nach rechts oder links verschieben. Verschiebung der Normalparabel in x-Richtung Willst du den Scheitelpunkt S einer Normalparabel f(x) = x 2 um 2 Einheiten nach rechts verschieben, lautet die neue Funktionsgleichung g(x) = (x – 2) 2 Bei einer Verschiebung nach links um 3 Einheiten, schreibst du h(x) = (x + 3) 2 Eine Verschiebung in x-Richtung erkennst du an der Zahl innerhalb der Klammer. Steht vor der Zahl ein Minus (-), verschiebst du den Graphen nach rechts. Bei einem Plus (+) verschiebst du den Graphen der quadratischen Funktion nach links.