Als Nächstes zeigen wir mit Hilfe des Satzes von Bolzano-Weierstraß, dass eine auf einem kompakten Intervall definierte stetige Funktion Extremwerte annimmt. Damit beweisen wir insbesondere auch die obige Vermutung, dass eine stetige Funktion auf [ 0, 1] einen beschränkten Wertebereich hat. Satz (Extremwertsatz von Weierstraß, Annahme von Maximum und Minimum) Sei f: [ a, b] → ℝ stetig. Dann gibt es p, q ∈ [ a, b] mit (a) f (p) ist das Maximum des Wertebereichs von f, d. h., es gilt f (x) ≤ f (p) für alle x ∈ [ a, b], (b) f (q) ist das Minimum des Wertebereichs von f, d. h., es gilt f (q) ≤ f (x) für alle x ∈ [ a, b]. Beweis Wir finden ein p wie in (a). Die Minimumsbehauptung wird analog gezeigt. Sei Y = { f (x) | x ∈ [ a, b]} der Wertebereich von f. Dann gibt es (Beweis als Übung) eine monoton steigende Folge (y n) n ∈ ℕ in Y mit: (+) Für alle y ∈ Y existiert ein n mit y ≤ y n. Wir definieren eine Folge (x n) n ∈ ℕ in [ a, b] durch x n = "ein x ∈ [ a, b] mit f (x) = y n " für alle n. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß existiert eine gegen ein p ∈ [ a, b] konvergente Teilfolge (x i n) n ∈ ℕ von (x n) n ∈ ℕ.
Prüfe ob die Funktion im Intervall beschränkt ist und ob das gegebene Intervall abgeschlossen ist, indem du z. B. schaust ob es zu beiden Seiten eckige Klammern besitzt. Zum Vergleich: Bei beidseitig runden Klammern spricht man von einem offenen Intervall, bei einseitig runden Klammern von einem halboffenen Intervall bzw. Zeige/Begründe die Stetigkeit von auf dem gegebenen Intervall. Schlussfolgerung mit Satz von Weierstraß: Jede auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion nimmt dort Maximum und Minimum an.
Der Satz von Lindemann-Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Resultat über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz der eulerschen Zahl und der Kreiszahl folgt. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstraß. Aussage [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Es sei eine (endliche) Menge algebraischer Zahlen gegeben, so sind die Bilder dieser Zahlen unter der Exponentialfunktion linear unabhängig über dem Körper der algebraischen Zahlen. Diesen sehr allgemeinen Satz bewies 1882 (teilweise) von Lindemann, ausgehend von der Hermiteschen Matrix, um einerseits die Transzendenz der eulerschen Zahl und der Kreiszahl zu zeigen. Obwohl er Erweiterungen andeutete, blieben diese unveröffentlicht, so dass diese dann Weierstraß 1885 vollendete. Beide Arbeiten zusammen bilden den Beweis, so dass der Satz den Namen "Satz von Lindemann-Weierstraß" erhielt. 1893 legte David Hilbert allerdings einen deutlich vereinfachten Beweis durch Widerspruch für die Spezialfälle der Transzendenz der Zahlen und vor, aus dem sich wiederum auch der allgemeine Satz folgern lässt.
Lexikon der Mathematik: Weierstraß, Satz von, über Extremalwerte besagt, daß eine stetige Funktion auf einer nichtleeren kompakten Menge einen globalen Maximalwert und einen globalen Minimalwert annimmt. Es gibt zahlreiche Verallgemeinerungen dieser Aussage, etwa die Sicherstellung der Existenz eines globalen Mimimalwerts, sofern f lediglich unterhalb stetig ist. Copyright Springer Verlag GmbH Deutschland 2017
Sei U ϵ ( x) =] x − ϵ, x + ϵ [ U_\epsilon(x)=]x-\epsilon, x+\epsilon[ eine beliebige ϵ \epsilon -Umgebung um x x, dann wählen wir ein Intervall [ a n, b n] [a_n, b_n] so dass
b n − a n < ϵ b_n-a_n<\epsilon (1)
gilt. (Dies ist möglich, da die Intervalle immer kleiner werden. ) Wegen a n < x a_n
Satz 5729E (Bolzano-Weierstraß) Beweis Sei A = { a n ∣ n ∈ N} A=\{a_n|\, n\in \domN\} die Menge der Folgenglieder der Folge ( a n) (a_n). Dann ist die Menge A A beschränkt; es gibt also ein abgeschlossenes Intervall mit A ⊆ [ a, b] A\subseteq [a, b]. Jetzt definieren wir die beiden Intervalle [ a, a + b 2] \ntxbraceL{a, \, \dfrac {a+b} 2} und [ a + b 2, b] \ntxbraceL{\dfrac {a+b} 2, b}. In wenigstens einem müssen unendlich viele Folgenglieder liegen. Wir nennen dieses Intervall [ a 1, b 1] [a_1, b_1] und teilen es nach obiger Prozedur. Dann sei [ a 2, b 2] [a_2, b_2] wieder ein Teilintervall, dass unendlich viele Folgenglieder enthält. Führen wir dieses Prozedur sukzessive weiter erhalten wir Intervalle [ a k, b k] [a_k, b_k], von denen wir jeweils wissen, dass sie unendlich viele Folgenglieder enthalten. Jetzt können wir Satz 5729C anwenden und wissen damit, dass es ein x ∈ ⋂ k = 1 ∞ [ a k, b k] x\in\bigcap\limits_{k=1}^\infty [a_k, b_k] gibt. Wir zeigen, dass x x Häufungspunkt der Folge ( a n) (a_n) ist.
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