Autor Nachricht Neil Gast Neil Verfasst am: 17. Nov 2013 11:02 Titel: Dgl lösen Hi, ist es möglich folgende Dgl mit dem Exponentialansatz zu lösen? M. m. n. wäre besser die Trennung der Variablen (Separation) geeignet. TomS Moderator Anmeldungsdatum: 20. 03. 2009 Beiträge: 15137 TomS Verfasst am: 17. Nov 2013 11:07 Titel: Es handelt sich um eine nichtlineare DGL, d. h. der Exponentialansatz ist ungeeignet. Trennung der Variablen funktioniert nur für DGLs erster Ordnung, du musst also zunächst deine DGL in formulieren. _________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. Neil Verfasst am: 17. Nov 2013 13:07 Titel: Dann sehe die Gleichung ja wie folgt aus. DGL lösen? (Mathe, Mathematik, Physik). (as_string: Hab die 0 durch ein Gleichheitszeichen ersetzt. Ich vermute mal, dass Du nur die Shift-Taste nicht richtig gedrückt hattest, oder? ) Neil Verfasst am: 17. Nov 2013 13:08 Titel: Neil hat Folgendes geschrieben: Dann sehe die Gleichung ja wie folgt aus.
Lesezeit: 5 min Lizenz BY-NC-SA Ähnlich einfache Lösungen wie bei Sin- oder Cos-Funktionen sind für die Exponentialfunktion \( y \left( t \right) = {e^{\lambda t}} \) Gl. 254 zu erwarten. Auch für die Ableitungen gilt y\left( t \right) = {e^{\lambda t}} Gl. 255 \begin{array}{l} \dot y\left( t \right) = \lambda \cdot {e^{\lambda t}}; \\ \ddot y\left( t \right) = {\lambda ^2} \cdot {e^{\lambda t}}\\..... \end{array} Somit kann jede lineare n. Ordnung DGL durch Verwendung des Exponentialansatzes zur Lösung gebracht werden. Einsetzen in die homogene DGL von Gl. 234 {y^{(n)}}\left( t \right) +... + {a_2}\ddot y\left( t \right) + {a_1}\dot y\left( t \right) + {a_0}y\left( t \right) = 0 ergibt {\lambda ^n}{e^{\lambda t}} +... + {\lambda ^2}{a_2}{e^{\lambda t}} + \lambda {a_1}{e^{\lambda t}} + {a_0}{e^{\lambda t}} = 0 Gl. 256 Ausklammern von e pt \left( { {\lambda ^n} +... + {\lambda ^2}{a_2} + \lambda {a_1} + {a_0}} \right) \cdot {e^{\lambda t}} = 0 Gl. Dgl lösen rechner group. 257 Die triviale Lösung e pt =0 soll nicht betrachtet werden, also folgt: {\lambda ^n} +... + {\lambda ^2}{a_2} + \lambda {a_1} + {a_0} = 0 Gl.
Lesezeit: 6 min Lizenz BY-NC-SA Zunächst wird die Aufgabe so modifiziert, wenn sie nicht schon als homogene Aufgabe vorliegt, dass durch Setzen von \(g(t) = 0\) die DGL homogenisiert wird. \( \dot y\left( t \right) + a \cdot y\left( t \right) = 0 \) Gl. 236 In dieser Form kann jetzt eine Trennung der Variablen durchgeführt werden, indem das Differenzial \(\dot y\left( t \right) = \frac{ {dy}}{ {dt}}\) formal wie ein Quotient betrachtet wird: \frac{ {dy}}{ {dt}} + a \cdot y = 0 Gl. 237 Trennung der Variablen \frac{ {dy}}{y} = - a \cdot dt Gl. 238 Nunmehr kann auf beiden Seiten eine unbestimmte Integration angewendet werden \int {\frac{ {dy}}{y}} = - a \cdot \int {dt} Gl. 239 also \(\ln \left( y \right) + C = - at\) und schließlich y = K \cdot {e^{ - at}} Gl. 240 Wie bei jeder Integration, darf auch hier nicht das Hinzufügen einer unbestimmten Konstante vergessen werden, da diese ja bei der Differenziation verschwindet. Fachbereich 02 - Wirtschaftswissenschaften: Startseite. Diese Konstante wird dazu benutzt, gewisse Randbedingungen in die Lösung einzuarbeiten.
Sorry. [/quote] Neil Verfasst am: 17. Nov 2013 13:09 Titel: as_string Moderator Anmeldungsdatum: 09. 12. 2005 Beiträge: 5550 Wohnort: Heidelberg as_string Verfasst am: 17. Nov 2013 13:11 Titel: Hallo, OK, da warst Du schneller... Du kannst auch ersetzen. Gruß Marco planck1858 Anmeldungsdatum: 06. 09. 2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw planck1858 Verfasst am: 17. Nov 2013 13:33 Titel: _________________ Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck) "I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) as_string Verfasst am: 17. Nov 2013 13:34 Titel: planck1858 hat Folgendes geschrieben: Hi, Nein, so habe ich das nicht gemeint! Wenn man ersetzt, kann man auch ersetzen. planck1858 Verfasst am: 17. Dgl lösen rechner ultra. Nov 2013 13:35 Titel: Ah, jetzt seh ich's. _________________ Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck) 1