Sei eine Stammfunktion von, dann gilt mit der Kettenregel und weiter:. Substitution und Differentiale Bei der praktischen Anwendung der Substitutionsregel ersetzt man meist die Variable durch die Funktion:. Wenn man diesen Ausdruck nun nach ableitet und anschließend die Gleichung umstellt, erhält man:,. Setzt man nun und in die rechte Seite der Substitutionsregel ein, wird plausibel, dass die Regel stimmt. Daraus ergibt sich auch schon eine Anleitung für ein Verfahren der Substitution. Es muss lediglich die Funktion noch so bestimmt werden, dass der Integrand auf der linken Seite der Gleichung gegenüber dem Integranden auf der rechten Seite vereinfacht wird. Das gelingt meistens, wenn eine verschachtelte Funktion im Integranden vorliegt. Integration durch Substitution Beispiel Wir betrachten zum Beispiel die Funktion. Dann könnte man die Funktion zu der Funktion vereinfachen wollen. Integration durch substitution aufgaben definition. Es müsste also gelten:. Diesen Ausdruck kann man nun nach umstellen und nennt den erhaltenten Term:. Jetzt gilt nämlich, was genau das Ziel war.
\text{e}^{u} \cdot \frac{1}{2} \, \textrm{d}u \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot \int \! \text{e}^{u} \, \textrm{d}u \end{align*} $$ Durch Einführung einer neuen Integrationsvariable konnten wir einen Teil des Integranden ersetzen und auf diese Weise das Integral vereinfachen. Jetzt haben wir es mit einem einfacher handhabbarem Integral zu tun, das wir im nächsten Schritt integrieren. Integration $$ \begin{align*} F(u) &= \frac{1}{2} \cdot \int \! \text{e}^{u} \, \textrm{d}u \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot \text{e}^{u} + C \end{align*} $$ Rücksubstitution $$ {\fcolorbox{orange}{}{$u = 2x$}} $$ in $$ F(u) = \frac{1}{2} \cdot \text{e}^{{\color{red}u}} + C $$ ergibt $$ F(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{e}^{{\color{red}2x}} + C $$ Beispiel 2 Berechne $\int \! Integration durch substitution aufgaben diagram. x \cdot \sqrt{x + 1}^3 \, \textrm{d}x$. Substitution vorbereiten Den zu substituierenden Term bestimmen Die Wurzel $\sqrt{x + 1}$ stört uns beim Integrieren! Im 1. Schritt ersetzen wir deshalb die Wurzel durch die Variable $u$: $$ {\fcolorbox{orange}{}{$\sqrt{x + 1} = u$}} $$ Gleichung aus Schritt 1 nach $x$ auflösen $$ \begin{align*} \sqrt{x + 1} &= u &&| \text{ Quadrieren} \\[5px] x + 1 &= u^2 &&|\, -1 \end{align*} $$ $$ {\fcolorbox{red}{}{$x = u^2 - 1$}} $$ $$ \Rightarrow \varphi(u) = u^2 - 1 $$ Gleichung aus Schritt 2 ableiten $$ \varphi'(u) = 2u $$ Integrationsvariable ersetzen $$ \textrm{d}x = \varphi'(u) \, \textrm{d}u $$ $$ {\fcolorbox{red}{}{$\textrm{d}x = 2u \, \textrm{d}u$}} $$ Substitution $$ F(x) = \int \!
1a Analysis, Integralrechnung Bestimmtes Integral, Substitutionsregel Ergebnis anzeigen Lsungsweg anzeigen bungsaufgabe Nr. 1b Analysis, Integralrechnung Bestimmtes Integral, Substitutionsregel Ergebnis anzeigen Lsungsweg anzeigen bungsaufgabe Nr. : 0021-2. 3a Analysis, Integralrechnung Substitutionsregel, Unbestimmtes Integral Ergebnis anzeigen Lsungsweg anzeigen bungsaufgabe Nr. : 0022-2. 2 Analysis, Integralrechnung Substitutionsregel, Unbestimmtes Integral Ergebnis anzeigen Lsungsweg anzeigen bungsaufgabe Nr. : 0023-2. Integration durch Substitution • einfach erklärt · [mit Video]. : 0024-3.
Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun wissen, wie du die Substitutionsregel anwenden kannst. :) Weiter so!
Integralrechner Der Integralrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich integrieren und noch viel mehr. Berechne ganz simple die Stammfunktion und die Flächen unter einem Graphen. Substitutionsregel In diesem Kapitel wirst du lernen wie man ein Integral mit der Substitutionsregel lösen kann. Aus der Differentialrechnung kennst du bereits die Kettenregel, dass äquivalente dazu in der Integralrechnung nennt man Substitutionsregel. Integration durch Substitution | Mathebibel. Regel: \(\displaystyle\int f(x)\, dx=\displaystyle\int f(\varphi(u))\cdot \varphi'(u)\, du\) Die Substitutionsregel kann meistens dann angewandt werden, wenn der Integrand \(f(x)\) aus einer Verkettung zweier Funktionen besteht. Betrachten wir am besten ein Beispiel zur Erklärung: Beispiele 1 \(\displaystyle\int 2x\cdot e^{x^2}\, dx\) Durch scharfes hinsehen, erkennen wir das im Exponenten der e-Funktion der Termin \(x^2\) steht, die Ableitung \((x^2)'=2x\) steht aber auch als Faktor vor dem \(e^{x^2}\).