Projektiv entspricht der Mittelpunkt einer Strecke zwei Punktepaaren in harmonischer Lage. Ein Kreis oder Ellipse hat projektiv keinen Mittelpunkt, denn ein nichtausgearteter Kegelschnitt ist projektiv zu jedem Punkt nicht auf dem Kegelschnitt symmetrisch, d. h. es gibt eine zentrale Involution mit Zentrum, die den Kegelschnitt invariant lässt. In der Physik nennt man den Schwerpunkt von Massen Massenmittelpunkt. Beispiele in Koordinaten [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Mittelpunkt einer Strecke Für zwei Punkte (in der Ebene) ist der Mittelpunkt. Im Raum entsprechend jeweils eine Koordinate mehr. Mittelpunkt von Kreis, Ellipse Der Mittelpunkt des Kreises mit der Gleichung ist. Der Mittelpunkt der Ellipse mit der Gleichung ist. Bei Kugel und Ellipsoid ist jeweils eine Koordinate mehr. Der Torus mit der Gleichung hat als Mittelpunkt. Die Symmetrie am Nullpunkt ist an dem ausschließlichen Auftreten von Quadraten der Koordinaten leicht zu erkennen. Mittelpunkte besonderer Kreise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In der Geometrie wird das Wort Mittelpunkt auch zur Kennzeichnung von Mittelpunkten besonderer Kreise geometrischer Objekte verwendet: Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt eines Dreiecks.
Aus Geometrie-Wiki Inhaltsverzeichnis 1 Der Mittelpunkt einer Strecke 1. 1 Definition III. 1: (Mittelpunkt einer Strecke) 2 Satz III. 1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) 2. 1 Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke 2. 2 Streckenantragen 3 Das Axiom vom Lineal 3. 1 Axiom III. 1: (Axiom vom Lineal) 4 Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke, Beweis von Satz III. 1 4. 1 Der Existenzbeweis 4. 2 Der Eindeutigkeitsbeweis Wir wissen nun, dass eine offene Strecke die Menge aller Punkte ist, die zwischen und liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte und, so hat man die gesamte Strecke. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke einen Mittelpunkt hat. wäre der Punkt auf, der sowohl zu als auch zu denselben Abstand hat. Definition III. 1: (Mittelpunkt einer Strecke) Definition Mittelpunkt einer Strecke Wenn ein Punkt der Strecke zu den beiden Endpunkten und jeweils ein und denselben Abstand hat, so heißt Mittelpunkt der Strecke Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.
Aus Geometrie-Wiki Der Mittelpunkt einer Strecke Wir wissen nun, dass eine offene Strecke die Menge aller Punkte ist, die zwischen und liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte und, so hat man die gesamte Strecke. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke einen Mittelpunkt hat. wäre der Punkt auf, der sowohl zu als auch zu denselben Abstand hat. Definition III. 1: (Mittelpunkt einer Strecke) Wenn ein Punkt der Strecke zu den beiden Endpunkten A und B jeweils und denselben Abstand hat, so heißt M Mittelpunkt der Strecke Satz III. 1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt. Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.
Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt. Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I. 7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III. 1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen. Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen.
den ersten Schritt kann man doch mit dem ersten Abstandsaxiom begründen.
In vielen Abituraufgaben im Fach Mathematik wiederholen sich häufig die Themen und Aufgabenstellungen. Mit Hilfe dieser Zusammenstellung kannst Du dich Thema für Thema auf die Abiturprüfung vorbereiten. Eine Übersicht der Themenbereiche findet man unter Übersicht Themen in Abituraufgaben Dieses Thema kommt in 14 bayerischen Abituraufgaben vor.
Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I. 7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III. 1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen. Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt auf, der zu gerade den Abstand hat.