Mathematik 5. ‐ 7. Klasse Dauer: 60 Minuten Was sind Kommazahlen? Kommazahlen, die auch Dezimalzahlen, genannt werden, sind Zahlen, bei denen eine der Nachkommastellen nicht die Null ist. Wenn du mit Dezimalzahlen rechnest, musst du ein paar Dinge beachten: Beim Addieren und Subtrahieren musst die Zahlen an der Kommastelle ausrichten. Beim Multiplizieren und Dividieren kannst du das Komma erst mal nicht beachten, wenn du hinterher alle Nachkommastellen wieder richtig einbeziehst. Zuerst zur zehn zurück zur zehn mathe ist. Es gibt auch Angaben, die erst mal keine Dezimalzahlen sind, wie z. B. Zeitangaben, Geldbeträge oder Gewichtsangaben. Wenn du diese aber in Dezimalzahlen umrechnest, kannst du dir oft den Rechenweg sehr erleichtern. Hier findest du alles, was du zum Rechnen mit Kommazahlen wissen musst. Wenn du alles verstanden hast, kannst du dein Wissen in den Klassenarbeiten zu Dezimalzahlen testen. Videos, Aufgaben und Übungen Was du wissen musst Zugehörige Klassenarbeiten Wie rechnet man mit Dezimalzahlen? Für die Grundrechenarten gibt es bei Dezimalzahlen einfache Regeln, die dich sicher durch jede Aufgabe führen.
Addieren und Subtrahieren mit Dezimalzahlen Beim Addieren und Subtrahieren kannst du die Techniken anwenden, die du schon beim Rechnen mit natürlichen Zahlen gelernt hast. Du musst dabei nur darauf achten, die Dezimalzahlen immer am Komma auszurichten. Leere Nachkommastellen kannst du mit Nullen auffüllen. \(\begin{align} \; 10&{, }0035\\ +\, 215&{, }6\color{green}{000} \\ \overline{\, 225}&\overline{{, }6035} \\ \end{align}\) \(\begin{align} \; 350&{, }052\\ -\, 115&{, }6\color{green}{00} \\ \overline{\, 234}&\overline{{, }452} \\ \end{align}\) Multiplizieren mit Dezimalzahlen Beim Multiplizieren von Dezimalzahlen machst du zuerst eine schriftliche Multiplikation, bei der du die Kommas gar nicht beachtest. Zuerst zur zehn zurück zur zehn mathématique. Dann verrückst du das Komma des Ergebnisses um so viele stellen nach links, wie es insgesamt Nachkommastellen in der Aufgabe gibt. Aufgabe: \(0{, }34\; \cdot \; 12{, }5\) Rechnung: \(\begin{align}\underline{34\; \cdot \; 1} &\underline {25}\\ 34 &\\ 6&8 &\\ +\;\;\;\;\;1&70\\ \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\scriptsize 1\, }&\underline{\scriptsize 1\;\;\;\;\;}\\ 42&50 \end{align}\) Nachkomma- stellen: \(0{, }\color{green}{34}\; \cdot \; 12{, }\color{green}{5}\\ \Rightarrow \text{3 Stellen}\) Ergebnis: \( 0{, }34\cdot12{, }5= 4{, }250\) Dividieren mit Dezimalzahlen Beim Dividieren von Dezimalzahlen kürzt du zuerst beide Zahlen so lang, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist.
Das bedeutet sehr viel zu schreiben und zu rechnen. Ganz besonders schwierig wird das bei Zahlen, die unendlich lang sind. In der Schule werden dir da besonders zwei Gruppen begegnen: periodische Dezimalzahlen, z. \(0{, }\overline6\) irrationale Zahlen, wie die Kreiszahl \(\pi\) Um mit diesen Zahlen überhaupt rechnen zu können, musst du sie auf ein bis drei Nachkommastellen runden. Das kann das Ergebnis sehr ungenau machen. Besser ist es dann, die Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln und mit dem Bruch weiterzurechnen oder die irrationale Zahl als Variable mitzuführen. Grundkonstruktionen | Learnattack. Dadurch bleibt die Rechnung so genau wie möglich. Wann ist es praktischer, mit Dezimalzahlen zu rechnen? Es gibt Umstände, unter denen es einfacher ist, mit Dezimalzahlen zu rechnen. Prinzipiell bleibt die Entscheidung, welche Rechenart du anwendest, um etwas auszurechnen, aber immer dir überlassen. Angaben von Größen Größenangaben sind Zahlen, die eine Einheit haben und etwas beschreiben, Zum Beispiel 5 Kilo Mehl. Gerade wenn du gemischte Mengenangaben hast, wie 4 Kilo und 900 Gramm, ist es praktischer, diese Angaben in eine Dezimalzahl umzuwandeln und mit dieser Zahl zur rechnen.
Wenn f und g injektive Funktionen sind, ist auch die Verkettung f ° g, definiert durch ( f ° g)( x): = f ( g ( x)) Frage 6 Ab jetzt geht es um Abbildungen zwischen beliebigen Mengen A und B. Was weiß man über A und B, wenn eine bijektive Abbildung f: A → B existiert? a) Es muss A = B gelten b) A und B müssen gleichmächtig sein. b): Frage 7 Wenn eine bijektive Abbildung f: A → B existiert, müssen A und B gleichmächtig sein. Was kann aber trotzdem gelten? a) A kann eine echte Teilmenge von B sein b) B kann eine echte Teilmenge von A sein Frage 8 Jetzt geht es um Abbildungen f: A → A, wobei A eine endliche Menge sein soll mit | A | vielen Elementen. Die Anzahl aller bijektiven Abbildungen ist a) 2 | A | b) | A |! Zuerst zur zehn zurück zur zehn mathe 2. c) | A | 2 d) 1 + 2 +... + | A | c): d): Frage 9 Es seien A, B und C Mengen mit | A | = | B | = | C | = n und f: A → B und g: B → C bijektive Funktionen. Wieviele Bijektionen g ° f gibt es insgesamt? a): n! b): Mehr als n! c): Weniger als n! Frage 10 Wenn f: A → B eine injektive, aber nicht surjektive und g: B → C eine surjektive, aber nicht injektive Abbildung ist, dann ist g ° f a) auf jeden Fall injektiv b) auf jeden Fall surjektiv c) eventuell injektiv d) eventuell surjektiv Zur Kontrolle oder zur Auswertung Antwort zur Frage 1: a), b) und c) sind richtig: a) f ( x) = f ( y) ⇔ x - 1 = y - 1 ⇔ x = y Von "links nach rechts" gelesen, ist dies ein Beweis für die Injektivität.
b) Zu jeder reellen Zahl x ist x + 1 ein Urbild: f ( x + 1) = ( x + 1) - 1 = x, also ist die Abbildung surjektiv. c) Wegen " injektiv + surjektiv = bijektiv " muss auch c) angekreuzt werden. zurück zur Frage zur nächsten Frage Antwort zur Frage 5: Die Behauptung ist wahr, eine kurze Beweisskizze: ( f ° g)( x) = ( f ° g)( y) ⇔ f ( g ( x)) = f ( g ( y)) Wegen der Injektivität von f folgt hieraus g ( x) = g ( y) Wegen der Injektivität von g folgt hieraus x = y Antwort zur Frage 2: Richtig: a = 1, b = 1 Nebenrechnung: y = x - 1 ⇔ x = y +1 Die Umkehrfunktion ist daher f -1 ( x) = x + 1, also a = b = +1. Antwort zur Frage 9 Kreuz bei a): Hoffentlich nicht irritieren lassen: Die Anzahl aller Bijektionen zwischen zwei Mengen mit n Elementen ist natürlich n! Unterrichtsgang. Antwort zur Frage 4: Falsch, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt: Die Funktionen f ( x) = x und g ( x) = - x sind bijektiv und damit injektiv, aber ( f + g)( x) = f ( x) + g ( x) = x - x = 0 ist ganz sicher nicht injektiv! Antwort zur Frage 8: Nur b) ist anzukreuzen: Obwohl für | A | = 1 auch c) und d) und für | A | = 3 auch d) richtige Zahlen liefern, wird nur b) als korrekt anerkannt: Die Anzahl aller bijektiven Abbildungen einer Menge mit n Elementen ist n!
b) ist richtig, genau so ist gleichmächtig definiert. Antwort zur Frage 3: Die Behauptung ist richtig: Gegeben sind f ( x) = 2 x + 1 und g ( x) = x + 3. Für alle reellen Zahlen x gilt dann ( f ° g) ( x) = f ( g ( x)) = f ( x + 3) = 2 ( x + 3) + 1 = 2 x + 7 ( g ° f) ( x) = g ( f ( x)) = g ( 2 x + 1) = ( 2 x +1) + 3 = 2 x + 4 = ( f ° g) ( x) - 3 Damit ist ( f ° g) ( x) stets größer als ( g ° f) ( x). zurück zur Frage Erzielt Punkte von maximal Umgerechnet Prozent Dies ist ----- Benötigte Zeit Sekunden Damit werden Prozent angerechnet Damit ist die Leistung insgesamt zurück zur ersten Frage zum Fragenkatalog H. J. Samaga, 23. 11. 00 / zuletzt geändert 25. 05. 05
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