Unterscheidung nach Stelligkeit [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wie bei der Untersuchung anderer Funktionstypen auch, unterscheidet man Boolesche Funktionen gerne nach ihrer Stelligkeit. Aufgrund der auf die Binärzahlen eingeschränkten Definitions- und Wertebereiche sind niederstellige Boolesche Funktionen verhältnismäßig einfach zu handhaben. So gibt es überhaupt nur 4 verschiedene einstellige Boolesche Funktionen, die man als Identität, Negation, konstante 1 und konstante 0 bezeichnen kann. Für die Boolesche Algebra ist hier insbesondere die Negation von Bedeutung. Die Anzahl der zweistelligen Booleschen Funktionen beträgt bereits 16. Zu den wichtigsten zählen dabei Konjunktion, Disjunktion, Äquivalenz, Antivalenz, NAND und NOR. Online-Rechner: Vereinfachung von mathematische Gleichung. Es existieren allgemein -stellige Boolesche Funktionen. Beispielsweise existieren verschiedene vierstellige Boolesche Funktionen. Im Folgenden werden Boolesche Funktionen verschiedener Stelligkeit näher beschrieben. Nullstellige Funktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] 2 2 0 = 2 1 = 2 Das sind die zwei Konstanten 1 und 0, auch wahr und falsch, verum und falsum, true und false genannt.
versteht man unter DNF genau die kanonische DNF. (Siehe auch: Kanonische Normalform). Basierend auf einem Artikel in: Seite zurück © Datum der letzten Änderung: Jena, den: 04. 11. 2020
Alternativ lassen sich auch alle Booleschen Funktionen mittels NAND realisieren (dasselbe gilt für NOR) oder mittels ( AND, XOR und T). Beispiel XOR-Funktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bei der XOR-Verknüpfung ist der Ausgangszustand 1 (wahr), wenn die beiden Eingangszustände x 1 und x 2 unterschiedlich sind: In der disjunktiven Normalform geschrieben: Beispiel Mehrheits-Funktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Angenommen man hat drei Personen, die jeweils einen Schalter vor sich haben. Eine Lampe l soll nur aufleuchten, wenn die Mehrheit, also zwei der Personen oder alle drei, ihren Schalter betätigen: Da sich und nur in einem Zustand unterscheiden, kann man den sich unterscheidenden Teil wegfallen lassen und erhält. Knf - Boolesche Funktion. Vereinfachung der Formen. Signatur auf Vollständigkeit prüfen | Stacklounge. Das Gleiche gilt für und, sowie für und, so dass am Ende folgende optimierte Funktion übrig bleibt: Vollständige Logiksysteme [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Für ein vollständiges System oder auch die Verknüpfungsbasis wird entweder die Grundverknüpfungen AND oder OR benötigt.
Vereinbarungsgemäß werden die Klammern und die Zeichen (Operatoren) für die UND-Verknüpfung nicht mitgeschrieben. Auch der NICHT-Operator kann in solchen Ausdrücken auftreten: Zusätzlich zu der bereits oben erwähnten Forderung, dass der logische Ausdruck in der obersten Ebene ausschließlich aus ODER-Verknüpfungen besteht (ODER-Ebene), darf es keine weiteren ODER-Verknüpfungen in tiefer geklammerten Ebenen geben. Nur zwei Ebenen sind zulässig: die obere Ebene der ODER-Verknüpfungen (ODER-Ebene) und die untere Ebene der UND-Verknüpfungen (UND-Ebene). Eine tiefere Verschachtelung gibt es nicht. Lediglich die Negation darf für die Elemente der UND-Ebene noch verwendet werden. Das Ganze geht auch andersherum: eine UND-Verknüpfung von ODER-Aussagen und Einzelaussagen. Boolesche Algebra vereinfachen: Beispiel mit Darstellung · [mit Video]. Das ist die konjunktive Normalform (KNF) – das Gegenstück zur disjunktiven Normalform (DNF). Praktischen Nutzen bringen solche Normalformen bei großen Aussagensystemen – beispielsweise bei der logischen Beschreibung der Flugzeugelektrik mit 50 Eingabeparametern und Hunderten von Kombinationsmöglichkeiten.
Für Null Argumente gibt es die beiden konstanten Funktionen 0 und 1. Es gibt die folgenden 2-stelligen Funktionen: 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Allgemeine boolesche Ausdrücke Zu Booleschen Ausdrücken gehört eine Variablenmenge X = { x 1 x_1, x 2 x_2, …, x n x_n} und Operatoren aus der in diesem Kapitel dargestellten Menge. Ein einfacher Boolescher Ausdruck kann aus einer Variablen oder der Negation dieser Variablen bestehen. Allgemein gilt: Ist e ein Boolescher Ausdruck, dann sind ebenfalls Boolesche Ausdrücke. Um die Klammern sparen zu können, legt man folgendes fest: Die Negation bindet am stärksten. Dann folgt AND und zum Schluss OR. Um Schreibarbeit zu ersparen, kann der AND-Operator auch weggelassen werden. Der Ausdruck ( ( e 1 ∧ e 2) ∨ ( ( e ‾ 3) ∧ e 2) ( (e_1\wedge e_2)\vee ((\overline e3) \wedge e_2) wird also als e 1 e 2 ∨ e 3 ‾ e 2 e_1e_2\vee\overline{e_3} \;e_2 geschrieben.
Boolesche Algebra vereinfachen Beispiel im Video zur Stelle im Video springen (00:11) Beginnen wir doch gleich mit einem Beispiel. Nehmen wir an, wir haben folgenden Schaltkreis vor uns liegen: direkt ins Video springen Boolesche Algebra vereinfachen Schauen wir uns die Schaltung doch einmal genau an. Wir haben zwei Inputs A und B. Input A wird zunächst aufgeteilt und mithilfe eines NOT-Gatters invertiert. Anschließend folgt oben ein NAND-Gatter mit Input A und B. Darunter haben wir ein NOR-Gatter mit den Inputs B und nicht A. Das Output dieser beider Gatter stellt wiederum das Input für das Oder-Gatter am Ende dar. Hast du auch alle Gatter gleich erkannt? Darstellung in algebraischer Form im Video zur Stelle im Video springen (00:51) Nun versuchen wir die Schaltung in algebraischer Form darzustellen. Für das NAND-Gatter oben erhalten wir Nicht A und B, für das NOR-Gatter Nicht (Nicht A oder B). Das Oder-Gatter am Ende führt lediglich zu einer Addition beider Outputs. Das heißt unsere Funktion für die Schaltung ist: Mithilfe der De Morganschen Gesetze wollen wir diese Gleichung nun vereinfachen.