Komplexe Zahlen multiplizieren im Video zur Stelle im Video springen (02:39) Du hast wieder die zwei komplexen Zahlen und gegeben. Komplexe Zahlen Multiplikation Wenn du diese beiden komplexen Zahlen multiplizieren möchtest, dann rechnest du. Wir nehmen die komplexen Zahlen aus dem vorherigen Beispiel Multiplizierst du jetzt und miteinander, dann erhältst du. Auch die Multiplikation kannst du dir in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulichen. Wenn du das Produkt berechnest, dann nimmst du den "Vektor", skalierst seine Länge um die Länge von dem "Vektor", also, und rotierst ihn zusätzlich um den Winkel vom "Vektor", also. Merke: Die Multiplikation in der Gaußschen Zahlenebene entspricht dem Strecken oder Stauchen mit zusätzlicher Rotation eines Vektors. Komplexe Zahlen Multiplikation in der Gaußschen Zahlenebene. Hinweis: Du musst diese Formel nicht auswendig lernen. Du kannst sie herleiten. Dafür brauchst du nur das Ausmultiplizieren von Klammern. Dabei musst du darauf achten, dass gilt.
Komplexe Zahlen Struktur; Realteil Re und Imaginärteil Im Re(z) = a, Im(z) = b; Re(w) = c, Im(w) = d Addition und Subtraktion Multiplikation Division Komplex konjugiert Vorzeichen von Im wechseln:; Betrag Abstand vom Ursprung: Komplexe Zahlen addieren und subtrahieren Sagen wir, du hast zwei komplexe Zahlen gegeben und. Komplexe Zahlen Addition und Subtraktion Wenn du diese addieren möchtest, dann rechnest du und wenn du sie subtrahieren möchtest. Beispiel Nehmen wir an, dass du die folgenden komplexen Zahlen gegeben hast Wenn du und addierst, dann bekommst du. Ziehst du hingegen von die komplexe Zahl ab, dann erhältst du. In der Gaußschen Zahlenebene kannst du dir die Addition (und Subtraktion) von komplexen Zahlen wie die Vektoraddition vorstellen. Das heißt, du bildest mit den beiden "Vektoren" und (beziehungsweise) ein Parallelogramm. Die Diagonale ist dann das Ergebnis der Addition (oder Subtraktion). direkt ins Video springen Komplexe Zahlen Addition in der Gaußschen Zahlenebene.
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man komplexe Zahlen dividiert Komplex Konjugierte Die konjugiert komplexe Zahl $\bar{z}$ einer komplexen Zahl $z$ erhält man durch das Vertauschen des Vorzeichens des Imaginärteils. Graphisch entspricht das der Spiegelung von $z$ an der reellen Achse der komplexen Zahlenebene. Mithilfe der komplex Konjugierten kann man den reziproken Wert $\boldsymbol{\frac{1}{z}}$ einer komplexen Zahl berechnen: Außerdem können wir mithilfe der komplex Konjugierten den Betrag (d. h. die Länge des Vektors) einer komplexen Zahl berechnen: $$ \begin{align*} |z|^2 &= z \cdot \bar{z} \\[5px] &= (x + y \cdot i) \cdot (x - y \cdot i) \\[5px] &= x^2 - xyi + xyi - y^2i^2 \\[5px] &= x^2 + y^2 \end{align*} $$ Definition Da wir jetzt wissen, wie man mit der komplex Konjugierten rechnet, können wir uns endlich anschauen, wie man komplexe Zahlen dividiert. Um komplexe Zahlen zu dividieren, bedient man sich eines Tricks. Komplexe Zahlen werden dividiert, indem man den Zähler und den Nenner mit der komplex Konjugierten des Nenners multipliziert.
Du kannst aber auch die e-Funktion verwenden. Die komplexe Zahl in der Exponentialform sieht dann so aus. Ein Beispiel dafür ist. Komplexe Zahlen umrechnen im Video zum Video springen Jetzt schauen wir uns an, wie du von kartesischen Koordinaten auf Polarkoordinaten umrechnen kannst und umgekehrt. Nehmen wir an, dass du die folgende komplexe Zahl in kartesischer Darstellung gegeben hast. Du möchtest davon die Darstellung in Polarkoordinaten berechnen. Für das Argument musst du zunächst überprüfen, welche der vier Fälle vorliegen. Hier sind Real- und Imaginärteil größer als Null. Du rechnest daher Jetzt rechnest du den Abstand vom Ursprung aus:. In Polarform sieht also so aus. Polarkoordinaten auf kartesische Koordinaten Diesmal hast du eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten gegeben. Um die kartesische Koordinaten und zu bestimmen, rechnest du Die komplexe Zahl ist diesmal in ihrer Polarform gegeben. Um die kartesische Darstellung zu bestimmen, rechnest du In kartesischer Darstellung sieht also so aus.