Freistetters Formelwelt: Das faule Universum Sich selbst überlassen, suchen sich die Dinge immer den energetisch günstigsten Zustand. Dieses fundamentale Prinzip lässt sich mit einer simplen Schnur demonstrieren. Bernoulli kette mehr als 500 tote. © kaz_c / Getty Images / iStock (Ausschnitt) Man nehme ein Seil, befestige es an zwei Punkten (die nicht direkt übereinanderliegen) und beobachte, was dann passiert. Die Form, die das hängende Seil unter dem Einfluss der Schwerkraft annimmt, lässt sich jedenfalls immer durch diese Formel beschreiben: © public domain (Ausschnitt) Frei hängendes Seil Die Funktion cosh ist der Kosinus hyperbolicus, also der gerade Anteil der Exponentialfunktion, die sich – zusammen mit dem Gegenstück des Sinus hyperbolicus (sinh) – auch so schreiben lässt: e x = sinh x + cosh x. Der Kosinus hyperbolicus beschreibt aber auch (in Abhängigkeit eines Skalierungsfaktors a) die Form eines frei hängenden Seils, weswegen seine grafische Darstellung häufig als »Kettenlinie« bezeichnet wird. Die Frage nach der Form so einer hängenden Kette hat schon Galileo Galilei beschäftigt.
4 In einem Multiple-Choice-Test gibt es 20 Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten? 5 In einem Forum wird eine wichtige Frage gestellt, woraufhin 6 Personen eine Antwort formulieren, ohne die Antwort der anderen gesehen zu haben. Hierbei gibt jeder von ihnen mit einer 70%igen Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort. Wie könnte man dies als Bernoulli-Kette darstellen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit (1) haben alle sechs mit ihrer Antwort recht? (2) hat keiner von ihnen recht? (3) geben genau der erste und letzte die richtige Antwort? (4) gibt mindestens einer die richtige Antwort? ▷ Rechnungswesen verstehen - für Schüler, Studenten & Weiterbildung. Wie viele Personen müssten mindestens auf die Frage antworten, um mit einer Wahrscheinlichkeit, die größer als 99% ist, zumindest eine richtige Antwort zu erhalten? 6 In einer Urne befinden sich 13 weiße und 16 rote Kugeln, von denen 10 zufällig herausgegriffen werden.
Auch seinen 13 Jahre jüngeren Bruder Johann, der nach dem Wunsch der Eltern Medizin studiert, kann er für die Beschäftigung mit mathematischen Fragen begeistern. Jakob Bernoulli wendet das Induktionsprinzip als Beweismethode an und benutzt bei Reihenuntersuchungen die Ungleichung, die heute als bernoullische Ungleichung bezeichnet wird: Für \(x \geq -1 (x \approx 0)\) gilt: \(1+x)^n \geq 1+n \cdot x. \) Er beschäftigt sich mit unendlichen Reihen, beweist, dass die harmonische Reihe \( 1+\frac{1}{2}+{1}{3}+{1}{4}+... + \frac{1}{n}+... \) über alle Schranken hinaus wächst und dass die Summe der Kehrwerte der Quadratzahlen beschränkt ist: \(1+\frac{1}{4}+{1}{9}+{1}{16}+... Jakob Bernoulli (1655 - 1705) - Spektrum der Wissenschaft. <2\), die Folge also konvergiert. Erst Leonhard Euler (1707 – 1783), der durch Vorlesungen bei Johann Bernoulli zur Mathematik geführt wird, gelingt der Beweis, dass \(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{, }645. \) Auch wenn er zunächst einige Schwierigkeiten mit den Theorien von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) hat, wendet er den Differenzialrechnungskalkül erfolgreich an und veröffentlicht Abhandlungen zu Tangenten- und Flächenberechnungen.