Punkt in der Pyramide, gleiche Abstand zur Grund- und Seitenflächen? Hallo zsm, ich habe eine Aufgabe gelöst, aber im Lösungsheft steht was anderes. Meine Frage ist, warum ich ein anderes Ergebnis habe, obwohl der Punkt, den ich herausgefunden habe, zu allen Seitenflächen und zu der Grundfläche den gleichen Abstand hat? Die Aufgabe: Gegeben ist die quadratische Pyramide ABCDS mit A( 2 | 0 |0), B( 0 | 2 | 0), C( -2 | 0 | 0), D( 0 |-2 | 0) und der Spitze S( 0 | 0 | 6). Bestimmen Sie den Punkt im innern der Pyramide, der zu allen Seitenflächen und der Grundfläche den gleichen Abstand hat. Ebene E in der der Boden liegt: E: x3 = 0 Ich bin zu der Lösung gekommen, dass der Punkt zu dem die Grundfläche und alle Seitenflächen den gleichen Abstand haben ist P( 0 | 0 | 1/3). Den Abstand zwischen Abkantungen und Löchern berechnen. Durch die Abstandsformel kommt überall der gleiche Abstand heraus. Ich dachte, ich habe alles richtig gemacht. Doch im Lösungsheft steht: P( 0 | 0 | 6/√19 +1). Auch hier ist der Abstand überall gleich. Was habe ich falsch gemacht?
d) Jeder Punkt einer Ellipse hat den gleichen Abstand zu einem Brennpunkt und zu einem Leitkreis. e) Jeder Punkt einer Hyperbel hat den gleichen Abstand zu einem Brennpunkt und zu einem Leitkreis. In der englischen Literatur werden Äquidistanz-Kurven/Flächen als bisector curves/surfaces bezeichnet [1] [2]. Äquidistanz-Kurven und -Flächen sollte man nicht verwechseln mit Parallelkurven /-Flächen. Bei letzteren haben alle Punkte den gleichen Abstand zu einer Kurve/Fläche. Mathematische Beschreibung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die nächstliegende Beschreibung einer Äquidistanz-Kurve verwendet die Distanzfunktion. Gleiche abstände berechnen. In den obigen Beispielen ist die Distanzfunktion einfach: 1) Abstand zweier Punkte im:. 2) Abstand eines Punktes von einer Gerade: s. HESSE-Normalform. 3) Abstand eines Punktes von einem Kreis mit Mittelpunkt und Radius:. In allen anderen Fällen kann man keine einfache Beschreibung der Distanzfunktion und damit der Äquidistanz-Kurven/-Flächen angeben. In der Literatur [3] werden Sonderfälle untersucht, bei denen die Äquidistanz-Kurven wenigstens durch rationale Funktionen beschrieben werden können.
Nach Beseitigen der Wurzeln lässt sich die Fläche durch die Gleichung beschreiben. Sie ist also ein hyperbolisches Paraboloid (s. Bild). 2) Das nächste Bild zeigt die Äquidistanz-Fläche zu der Gerade und der Helix (Schraublinie). 3) Das letzte Bild zeigt die Äquidistanzfläche zu einer Bezierkurve und einer Bezierfläche [6]. Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ M. Rechner für Geländer: Abstand der Stäbe. Peternell: Geometric Properties of Bisector Surfaces, Graphical Models 62, 202–236 (2000) ↑ G. Elber, Myung-Soo Kim: Bisector Curves of Planar Rational Curves ↑ G. Elber, M-S Kim: The Bisector surfaces of rational space curves, ACM Trans Graph 17, p. 32-49 ↑ E. Hartmann: The normalform of a space curve and its application to surface design, The Visual Computer 2001, pp 445-456 ↑ G. Elber, M-S Kim: A computational model for nonrational bisector surfaces: curve-surface and surface-surface bisector surfaces, Proceedings of Geometric Modeling and Processing 2000, Hongkong, IEEE, pp 364-372 ↑ Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD.