Der Schnittpunkt ist dann. Falls keine Lösung existiert, sind die beiden Geraden verschieden und parallel ( sind linear abhängig) oder windschief. Falls unendlich viele Lösungen existieren, sind die Geraden identisch. Die Parallelität der Geraden lässt sich daran erkennen, dass die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Windschief erkennt man daran, dass die Determinante ist. Lagebeziehung Gerade-Ebene: schneiden, parallel, enthalten Lagebeziehung Ebene-Ebene: schneiden, parallel, identisch Gerade und Ebene [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Falls die Ebene parametrisiert gegeben ist, bestimmt man zunächst eine Koordinatengleichung. Eine Gerade hat mit der Ebene einen Schnittpunkt, falls die Gleichung Falls die Gleichung keine bzw. unendlich viele Lösung(en) besitzt, ist die Gerade zur Ebene parallel. Deutsche Mathematiker-Vereinigung. (Diesen Fall kann man daran erkennen, dass der Richtungsvektor der Gerade zum Normalenvektor der Ebene senkrecht steht, d. h. ihr Skalarprodukt ist 0. ) Zwei Ebenen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Zwei Ebenen besitzen genau eine gemeinsame Gerade ( Schnittgerade), falls die beiden Normalenvektoren keine Vielfache voneinander (d. h. linear unabhängig) sind.
Parallel oder identisch sind sie, wenn ihre Normalenvektoren gleich oder Vielfache voneinander sind. In jedem anderen Fall schneiden sie sich. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sind die Ebenen $E_1: \quad 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 4 \\ E_2: \quad 4x_1 + 6x_2 + 2x_3 = 8 \\ E_3: \quad 4x_1 + 6x_2 + 2x_3 = 5 \\ E_4: \quad x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4$. Die Ebenen E1 und E2 sind identisch, da ihre Koordinatengleichungen nur Vielfache voneinander sind. Die Ebene E3 ist zu Ebene E1 bzw. E2 parallel, da ihre Normalenvektoren identisch bzw. Vielfache sind und die Zahl rechts vom Gleichheitszeichen unterschiedlich ist. Ebene E4 schneidet die anderen Ebenen. Eine ausführliche Betrachtung dieses Falles findet sich im Kapitel Schnitte. Lagebeziehungen von geraden und ebenen. 3 Ebenen Bei drei Ebenen vervielfachen sich entsprechend die Möglichkeiten, welche Lage sie zueinander haben können. Wichtig ist hier speziell der Sonderfall, dass sich drei Ebenen in einem Punkt schneiden. Als einfachstes Beispiel dient hier unser "normales" Koordinatensystem mit der x 1 x 2 -Ebene, der x 1 x 3 -Ebene und der x 2 x 3 -Ebene, die sich alle im Ursprung schneiden.
Ist m 1 = m 2, d 1 = d 2 gilt, sind die Geraden identisch und falls m 1 = m 2, d 1 ≠ d 2 gilt, sind die Geraden verschieden und parallel. Sind zwei Geraden y = m x + d, ( x und y) = ( p 1 und p 2) + t ( r 1 r 2) haben einen Schnittpunkt, falls die Gleichung p 2 + tr 2 = m (p 1 + tr 1) + d für t genau eine Lösung t 0 besitzt. Der Schnittpunkt hat die Koordinaten (p 1 + t 0 r 1, p 2 + t 0 r 2) Falls die Gleichung keine Lösung besitzt, sind die Geraden verschieden und parallel. Ist die Gleichung für alle t ∈ ℝ erfüllt, sind die Geraden identisch. Zwei Geraden ( x y) = (p 1 und p 2) + t ( a 1 und a 2), ( x y) = ( q 1 und q 2) + t ( b 1 und b 2) haben einen Schnittpunkt, falls das lineare Gleichungssystem p 1 + ta 1 = q 1 + sb 1 p 2 + ta 2 = q 2 + sb 2 für s, t genau eine Lösung s 0, t 0 besitzt. Der Schnittpunkt ist (p 1 + t 0 a 1, p 2 + t 0 a 2) Falls das Gleichungssystem keine Lösung besitzt, sind die Geraden verschieden und parallel. Falls das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt, sind die beiden Geraden identisch.