Als Rotationskörper wird in der Geometrie ein Körper bezeichnet, der durch die Rotation einer Kurve um eine Achse entsteht. Dabei müssen Kurve und Rotationsachse in derselben Ebene liegen. Weitere Informationen findest du im Artikel zum Rotationskörper. Um Mantelfläche und Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen, benötigt man nur die Funktionsvorschrift der Kurve. Bekannte Rotationskörper Erzeugende Kurve und Rotationsachse x 2 + y 2 = r 2 bzw. Rotation aufgaben mit lösungen und fundorte für. y = r 2 − x 2 x^2+ y^2= r^2\;\text{bzw. }\; y=\sqrt{ r^2- x^2} und Rotation um die x x -Achse oder x = r 2 − y 2 x=\sqrt{ r^2- y^2} und Rotation um die y y -Achse. Offener Zylinder mit Radius r r und Höhe h h y = r, D = [ 0; h] y= r, \; D=\lbrack0; h\rbrack (Definitionsbereich zwischen 0 0 und h h) und Rotation um x x -Achse. x = r, W = [ 0; h] x= r, \; W=\lbrack0; h\rbrack (Wertebereich zwischen 0 0 und h h) und Rotation um y y -Achse. Offener Kegel mit Radius r r und Höhe h h y = − r h x + r, D = [ 0; h] y=-\frac{ r}{ h} x+ r, \; D=\lbrack0; h\rbrack und Rotation um die x x -Achse.
1. Aufgabe Die mathematische Struktur der Bewegungsgleichungen für die Rotationsbewegung entspricht derjenigen der Translationsbewegung. Vervollständigen Sie die nachstehende Tabelle, in der die entsprechenden Größen dieser Analogie einander gegenüberzustellen sind. Translation Rotation Weg?? Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung? Kraft?? Trägheitsmoment Impuls? Rotationskörper. _____________ 2. Aufgabe Die mathematische Struktur der Beziehungen und Gesetze für die Rotationsbewegung entspricht derjenigen für die Translationsbewegung. Ergänzen Sie die Lücken in der nachstehende Tabelle, in der analoge Gesetze einander gegenübergestellt sind. _______________ 3. Aufgabe Ein ideal dünner Reifen mit der Masse m und dem Radius R rollt aus der Ruhe eine schiefe Ebene der Höhe h herab (kein Schlupf, keine Energieverluste). Wie groß ist seine Geschwindigkeit v am Ende der schiefen Ebene? 4. Aufgabe Zwei identische zylindrische Scheiben mit der Masse M, dem Radius R und einem Trägheitsmoment treffen auf einer horizontalen Ebene zusammen (siehe Abbildung).
Volumen und Mantelfläche eines rotierten Körpers Der Rotaionskörper ist ein Teil einer Kurve, der um eine Gerade oder Achse rotiert, sodass ein Körper symmetrisch zur Rotationsachse entsteht. In diesem Rechner also Ratationskörper Rechner wird eine Rotation um die x-Achse berücksichtigt. Das Volumen dieses Körpers lässt sich anhand von Integralrechnungen näherungsweise berechnen. Das Volumen sieht ähnlich wie ein Kegel, bei deem dies durch die Berechnung des Umfangs der Grundfläche mal die Höhe berechnet wird. In diesem Falle besteht auch der Körper aus mehreren sehr dünnen (h->0 ist die Dicke) Zylindern. Rotation aufgaben mit lösungen. Das Volumen aller Zylinder werden aufsummiert und als ein Integral aufgestellt. Dies wird in unserem Rotationskörper Rechner numerisch ausgerechnet und angezeigt. Die Mantelfläche lässt sich auch anhand von einem Integral berechnen, sodass mehrere dünne Kegelstümpfe mit einer Länge von einem Teil der Kurvenlänge ( hier. ) und den effektiven Radius direkt in der Mitte jedes Kegelteils wie folgt berechnet wird: Kurvenlänge * Summe aller in der Mitte stehenden Radien * 2 * Pi, da die jeweiligen Umfänge zu berechnen sind.